LOUIS NIRENBERG, GRAN MESTRE DE LES ESTIMACIONS A PRIORI

Les equacions en derivades parcials (EDP a partir d’ara) han estat i són una eina fonamental per a la modelització matemàtica de la natura i de les cències socials. La propagació d’ones, la difusió de la calor, l’electromagnetisme, l’elasticitat, la dinàmica de fluids i de poblacions o les finances són exemples clars de la seva aplicabilitat. També han estat l’eix central del desenvolupament d’eines molt importants de la matemàtica, com les sèries de Fourier o l’anàlisi funcional. Ara bé, va ser durant la segona meitat del segle xx que el seu gran desenvolupament teòric les va portar a ser considerades per elles mateixes com una disciplina específica de les matemàtiques. I ´es en aquesta anomenada «edat d’or» de les EDP, que cal inscriure el treball matemàtic de Louis Nirenberg.
 Des dels seus treballs inicials als anys cinquanta fins a l’actualitat, en Nirenberg pot considerar-se un dels actors o artífexs principals d’aquest creixement de les EDP, tant des del punt de vista teòric com aplicat. De l’any 1990 al 1994 vaig tenir la sort de dur a terme la meva tesi doctoral a l’Institut Courant de Ciències Matemàtiques sota la direcció de Louis Nirenberg. Puc dir, sense risc d’equivocar-me, que la meva manera de fer i entendre les matemàtiques és, en molt forta mesura, deguda a ell. En Nirenberg també és la persona que em va posar en contacte amb diversos matemàtics molt destacats que han tingut una forta influència en la meva carrera professional. D’aquells dies al Courant Institute recordo, amb una certa enyorança, l’ambient molt estimulant i agradable que es respirava i, en especial, una sala de la planta tretze on estudiants i professors (premis Abel inclosos) menjàvem, preníem cafè o parlèvem de matemètiques tots plegats.  

JA HA ENGEGAT EL CANGUR 2016

De seguida que el vaixell del Cangur 2015 va arribar a port ja va salpar el vaixell del Cangur 2016, que també va carregat de novetats. Les persones que han d’anar a la reunió internacional de Cangur sense Fronteres (octubre 2015, Göteborg, Suècia) ja han comen¸cat la seva tasca de proposta de problemes i anàlisi dels problemes que es van proposant des dels diferents països.
La SCM ja ha anunciat la celebració del Cangur 2016 per als mateixos nivells escolars d’enguany i, a més, com a novetat, es convoca el Cangur per a alumnes de 1r i 2n d’ESO i així s’abastarà tota la franja d’edat d’11 a 18 anys. Això ha implicat la creaciò d’una nova Subcomissió i la primera tasca conjunta de totes les comissions va ser decidir la data del Cangur 2016. La data internacional està fixada el tercer dijous de març, el 17 de març. Però la Comissió Cangur ha valorat el fet que aquesta data (penúltim dia de classe abans de les vacances de setmana santa) podia interferir amb l’organització de les activitats pròpies de molts centres. Exactament això mateix va passar el 2013 a Catalunya. Aquesta és l’explicació de l’«anomalia» que s’observa en la figura 1 i per aquesta raó s’ha convocat el Cangur per al dia 7 d’abril de 2016. A partir de l’experiència d’enguany amb el Cangur-primària, que s’ha valorat positivament, la «nova» prova Cangur per a 1r i 2n d’ESO es desenvoluparà al propi centre (juntament amb la de 3r d’ESO), a l’hora i de la manera que en cada centre vagi millor per adaptar-lo a l’organització general del centre però, això sí, per als nivells «dels grans» es mantindrà la celebració en seus, que ja hem comentat que és molt ben valorada.
Esperem que la col·laboració de tothom (professorat, patrocinadors, institucions) faci possible un gran Cangur 2016. Us podem assegurar que la desinteressada feina de les diverses comissions no faltarà.

Marta Berini i Antoni Gomà Comissió Cangur de la SCM 

PREMI ABEL 2015

El 25 de març d’enguany, l’Acadèmia Noruega de Ciències i Lletres va decidir atorgar el premi Abel 2015 als matemàtics nord-americans John F. Nash Jr. i Louis Nirenberg. En paraules del seu president, Kirsti Strøm Bull, l’Acadèmia va decidir concedir el premi a aquests dos «gegants» de les matemàtiques del segle xx, per les seves importants contribucions a la teoria d’equacions en derivades parcials no lineals i les seves aplicacions a l’anàlisi geomètrica. John F. Nash, nascut el 13 de juny de 1928 a l’estat nord-americà de Virgínia, va rebre també el premi Nobel d’Economia el 1994 pel seus treballs sobre la teoria de jocs i, l’any 2001, es va fer mundialment conegut arran de l’«oscaritzada» pel·lícula A Beautiful Mind, dirigida per Ron Howard, on s’explica part de la seva vida. Malauradament, John F. Nash i la seva dona Alicia van morir en un accident de trànsit a l’estat de Nova Jersey pocs dies després de la concessió del premi Abel. A diferència de John F. Nash, Louis Nirenberg, nascut fa noranta anys al Canadà, sempre ha escrit la majoria dels seus articles en col·laboració amb altres matemàtics de tot el món. A més, ha estat un prolífic director de tesis, entre elles la de Xavier Cabré, professor ICREA pertanyent al Departament de Matemàtica Aplicada I de la UPC. Per aquest motiu, en Xavier va acceptar ràpidament el nostre oferiment d’escriure un article personal sobre en Louis. 

PROBLEMA MATEMÀTIC

T´atreveixes a resoldre un problema matemàtic d´ESO?

Prepara la ment. El vicepresident de la Societat Catalana de Matemàtiques, Enric Ventura, et donarà un cop de mà

08.04.2016 | 19:58

REDACCIÓ | GIRONA

Diversos municipis gironins van acollir aquest dijous les proves Cangur, en les quals els alumnes de quart d'ESO i de primer i de segon de Batxillerat posen a prova la seva capacitat de sol·lucionar problemes matemàtics. Hem seleccionat una de les preguntes de les proves i et proposem el repte a trobar-ne la resposta. Si no te'n surts, Enric Ventura, investigador de l'EPSEM i vicepresident de la Societat Catalana de Matemàtiques (entitat que convoca la Prova Cangur) et resoldrà el problema.

Aniol Resclosa

Pregunta:

De quantes maneres es pot emplenar la taula amb les lletres SUDOKU de manera que no hi hagi dues lletres U en una mateixa fila ni una mateixa columna?

Possibles respostes:

A) 6
B) 12
C) 48
D) 72
E) 144

Resposta correcta:

Comencem col·ocant les dues U's. Com que han d'estar en files diferents, n'hi haurà d'haver una a la primera fila i una a la segona: per la primera tenim tres possibilitats; per la segona dues (perquè no es pot posar sota la primera U, sinó repetiríem columna). Aixo fa un total de 2x3=6 possibilitats. I, per cadascuna d'elles, posem ara les altres quatre lletres als quatre llocs que queden buits, de totes les maneres possibles. Per col·locar la S tenim quatre possibilitats, per la D tres, per la O dues, i finalment la K haurà d'anar forçosament a l'ultim lloc disponible. Tot plegat fan un total de 6x4x3x2x1=144 possibilitats, aixi que la resposta correcta es la (E).

L'apunt d'Enric Ventura:

Com veieu, els problemes del Cangur no son ni tècnics ni sofisticats, i es poden resoldre sense ser expert en cap tema en concret. Només requereixen una mica d'enginy i saber-te'ls plantejar de la manera adequada. Aquest tipus de problemes creen, de vegades, una sensació inicial de mandra ("ui! que complicat" sol dir la gent abans ni tant sols d'acabar-los de llegir). Però si superes aquesta mandra, la bellesa i la senzillesa de la seva resolució compensen amb escreix el petit esforç fet per a pensar-los. I la satisfacció personal d'haver resolt el repte es un petit èxit que s'emporten tots aquests mes de 100.000 nois i noies que any rere any participen amb entusiasme a les proves Cangur arreu de tot a Catalunya.

EL NOMBRE PI

Daniel Tammet, un autista que recita 22.514 decimals de pi i parla onze idiomes

El matemàtic ha publicat diversos llibres, el darrer, "La poesía de los números", editat per Blackie Books

01.06.2015 | 11:00

HÈCTOR MARIÑOSA/EFE | BARCELONA

 El cas del matemàtic Daniel Tammet és el millor exemple que l'home encara sap poc del funcionament del seu propi cervell, ja que la increïble capacitat mental d'aquest britànic a qui es va diag-nosticar epilèpsia, sinestèsia, síndrome d'Asperger i síndrome del savi sobrepassen la comprensió de la ciència.

Tot i que Tammet va evidenciar aviat que era un nen "diferent", no va ser fins als 25 anys quan se li va diagnosticar síndrome d'Asperger, un trastorn de l'espectre autista que no comporta dificultats en el llenguatge, i menys en el seu cas, ja que també té la síndrome del savi, amb una increïble capacitat memorística que l'ha portat a poder recitar 22.514 decimals del nombre pi i a parlar 11 idiomes.

A diferència d'altres autistes que no poden expressar el que senten, Tammet ja ha escrit diversos llibres sobre la seva manera de veure el món, l'últim dels quals, La poesía de los números, publicat a l'estat per l'editorial Blackie Books.

Nascut a Londres en una extensa família -té 8 germans-, a Daniel Tammet li van diagnosticar en la infància epilèpsia i sinestèsia, una infreqüent capacitat per sentir colors, veure sons o tenir sensacions gustatives en tocar un objecte. Davant les seves altes capacitats mentals, en la seva joventut va ser examinat per científics del Centre d'Investigació del Cervell de Califòrnia, que, després de nombroses proves, li van atribuir la "síndrome de l'autisme savi", i fins i tot va protagonitzar un documental al Regne Unit titulat El noi del cervell increïble, emès el 2005 per Five Channel. El documental mostrava una trobada de Tammet amb el més famós dels autistes "savis", el nord-americà Kim Peek, que va inspirar el personatge de Raymond Babbitt en la pel·lícula Rain Man, protagonitzada per Dustin Hoffman.

El 2006, Tammet va publicar la seva història en el llibre Nacido en un día azul, en el qual no amagava les rutines a què el sotmet la seva ment: ha de prendre el te cada dia a una hora exacta, esquitxar-se la cara amb aigua cinc vegades quan es desperta i comptar tots els botons de la roba que porta abans de sortir de casa. A La poesía de los números, Tammet intenta transmetre al lector com ell pot trobar la mateixa bellesa o emoció en un nombre primer que una persona normal en un poema. Per a Tammet, el món necessita artistes. Com els matemàtics.

CINC JOVES ASTRES DELS NÚMEROS

MARTA CASANELLAS (Àlgebra i geometría per entendre l’evolució)

Quan la metàstasi d’un tumor s’estén, pot ser útil saber de quina part del tumor original sorgeix. Si es pogués atacar aquella zona, potser es podria contenir l’expansió. Per abordar aquesta qüestió s’ha d’actuar de detectiu: analitzar els gens de la metàstasi i reconstruir com han mutat a partir dels gens del tumor.

Aquesta mateixa tècnica, anomenada inferència filogenètica, es pot utilitzar per analitzar l’evolució de les espècies. «Avui coneixem els genomes de les espècies actuals, que són com les fulles de l’arbre filogenètic [l’arbre de l’evolució de les espècies]», explica Marta Casanellas, professora agregada de la Universitat Politècnica de Catalunya. La seva especialitat és la biomatemàtica. En concret, usar tècniques algebraiques per deduir la forma de l’arbre de l’evolució mirant sols les fulles.

Casanellas va començar com una matemàtica pura, en l’àmbit de la geometria algebraica, disciplina que investiga la relació entre formes geomètriques i la seva representació com a polinomis. Doctorada a Barcelona, se’n va anar a la universitat de Berkeley, als EUA, amb una prestigiosa beca Ful­bright. Després va tornar a Barcelona amb un contracte Ramón y Cajal. Acabat aquest inici estel·lar, la seva vocació va entrar en crisi. «Allò de demostrar veritats absolutes em satisfeia fins a cert punt», diu.

Va ser aleshores quan es va assabentar que a Barcelona hi havia un dels millors grups de filogenètica. I que les tècniques que necessitaven per investigar l’ADN venien exactament de la seva branca d’investigació. «Quan vaig trobar que els meus coneixements podien aplicar-se a la biologia em vaig sentir molt millor, perquè vaig veure la utilitat de la meva investigació», explica Casanellas. Avui està encantada que importants revistes de biologia hagin publicat els seus mètodes matemàtics.

ISABEL FERNÁNDEZ (Bombolles de sabó en dimensions desconegudes)

«De les matemàtiques m’agrada el rigor: una cosa o és veritat o és mentida. I si és veritat també ho serà d’aquí 100 anys». Així expressa el seu amor als números Isabel Fernández, professora titular de la Universitat de Sevilla, de 36 anys. «La meva especialitat és la investigació bàsica, no motivada per aplicacions. És la part més primitiva: com quan un ésser humà es pregunta per què les bombolles de sabó són rodones», explica. El 2009, amb Pablo Mira, va solucionar el problema de Bernstein en l’espai de Heisenberg, un problema sense resoldre durant gairebé un segle.

L’assumpte se centra en superfícies molt estimades pels artistes de carrer. Per exemple, una pel·lícula de sabó enganxada a un filferro (just abans de convertir-se en bombolla). O la forma dibuixada per una catenària (una corda de saltar) quan es fa girar completament. Aquestes superfícies tenen curvatura zero, en llenguatge matemàtic.

Els matemàtics com Isabel intenten escriure funcions que representin aquestes superfícies, tot i que no sempre es pot. Entendre quan sí que es pot fer és l’anomenat problema de Bernstein.

Aquest desafiament està resolt en l’espai tridimensional que coneixem. No obstant, «hi ha tota una llista d’espais tridimensionals diferents», explica Fernández. En aquests espais inventats passen coses estranyes, com per exemple que una persona tingui una mida diferent si està dreta o ajaguda. Un d’aquests espais porta el nom de Heisenberg.

Els matemàtics han intentat resoldre el problema de Bernstein en aquest espai durant dècades. Gràcies a la seva solució, Fernández va ser la primera dona espanyola convidada a parlar, fa sis anys, al Congrés Mundial de Matemàtiques.

SANTIAGO BADIA (Impressores 3D, fusió nuclear i altes finances)

Hi ha assumptes amb els quals no és aconsellable fer experiments. Per exemple: els mercats financers. I n’hi ha d’altres que és directament impossible portar-los a terme. Per exemple, la fusió nuclear, la tecnologia que hauria de produir energia nuclear neta que, no obstant, no tindrà un prototip viable fins d’aquí unes quantes dècades. En aquests casos, en lloc de fer proves en el món real, es pot recórrer a la simulació a través de l’ordinador.

És aquesta l’especialitat de Santiago Badia, professor de la Institució Catalana de Recerca i Estudis Avançats (ICREA) de la Universitat Politècnica de Catalunya. Amb només 37 anys, Badia ha rebut el premi de la Societat Espanyola de Matemàtiques Aplicades, dues subvencions del European Research Council i ha sigut convidat a la trobada anual de Nous Campions del fòrum econòmic de Davos. «El meu àmbit és molt interdisciplinari. Cada dia t’enfrontes a problemes nous i has de buscar solucions que ningú més pot donar-te», explica Badia.

En el seu àmbit, no es tracta en absolut d’escriure equacions matemàtiques, sinó de trobar els algoritmes que permetin solucionar-les. De vegades, es tracta de problemes tan enrevessats que es necessita tot un superordinador per abordar-los. Badia dissenya algoritmes capaços de fer funcionar com una orquestra ben afinada fins a mig milió de processadors, com per exemple els del superordinador alemany Juqueen.

A més a més d’estudiar la fusió nuclear, ara està col·laborant amb una empresa italiana per simular el procés d’impressió 3D. La idea és que els enginyers puguin experimentar virtualment si els seus dissenys funcionen o no, sense necessitat d’imprimir centenars de peces i portar a terme experiments en el món real.

ALBERTO ENCISO (Atac i resolució a una conjectura centenària)

Les tempestats de les pel·lícules no es graven enviant esforçats càmeres enmig del mar: es tracta de simulacions. El seu realisme es deu a matemàtics que han entès la dinàmica de fluids tan bé que poden introduir equacions en un ordinador i produir imatges iguals a les de veritat.
Un dels astres naixents de la matemàtica espanyola, Alberto Enciso, ha fet contribucions fonamentals per entendre els fluids, i molt especialment les turbulències. Amb només 35 anys, aquest investigador de l’Institut de Ciències Matemàtiques de Madrid acumula els principals guardons matemàtics espanyols: el premi Princesa de Girona i una subvenció del European Research Council. «El que més m’enorgulleix és haver resolt un problema centenari», afirma. Enciso va demostrar el 2014, juntament amb Daniel Peralta Salas, una conjectura plantejada pel físic Lord Kelvin el 1875.

Els fluids en equilibri, com per exemple l’aigua que flueix sense aparents pertorbacions en una canonada, poden amagar estructures complexes. Lord Kelvin va argüir que al seu interior s’hi formen estructures semblants a uns tubs lligats. Els físics han detectat aquestes estructures en líquids al laboratori. No obstant, no era clar fins ara com es podia derivar la seva existència de les equacions que descriuen els fluids.
«El centre de la meva investigació és analitzar propietats d’equacions físiques. Volem desenvolupar les idees que ens permeten extreure els fenòmens físics [de la matemàtica]», afirma Enciso. Això va ser el que van fer amb el problema de Kelvin. «Quan identifiques els trets que generen un comportament pots aprofitar-los en un altre context», explica Enciso, que ha solucionat un altre problema que es refereix als plasmes, com el que es troba a la superfície del sol.

MARÍA DE PEREIRA (Respostes a les preguntes d’una ment meravellosa)

Alguns sorprenents fenòmens naturals es coneixen com a singularitats. Per exemple, els ciclons, els forats negres o el canvi abrupte de líquid a gas. Alguns d’ells es poden representar de forma abstracta com en funcions o formes geomètriques. En aquestes representacions, «les singularitats cor­responen a trets com una cúspide, un encreuament d’una corba o la punta d’un con», explica María Pe Pereira, postdoctoral a l’Institut de Ciències Matemàtiques (ICMAT) de Madrid.

Entendre les singularitats en objectes matemàtics és l’especialitat d’aquesta investigadora de 35 anys. Pe Pereira es va fer famosa el 2012, quan va solucionar amb Javier Fernández de Bobadilla un problema plantejat per John Nash, el protagonista de la pel·lícula Una ment meravellosa.
Pe Pereira investiga les singularitats que es generen quan es deforma una superfície. Per exemple, quan es recargola un cilindre, estrangulant-lo al centre fins a produir dos cons. El seu punt d’unió és una singularitat. Els matemàtics es pregunten coses com quines propietats geomètriques es conserven durant la deformació. En paraules senzilles, això permet quantificar com és de dràstica aquella deformació.

Una manera d’investigar l’assumpte és imaginar unes bales microscòpiques que corrin pel cilindre recargolat i analitzar quines trajectòries segueixen. ­John Nash va plantejar una relació entre aquelles trajectòries i certes propietats de la deformació. El treball dels matemàtics espanyols va demostrar que la conjectura de Nash estava fonamentada.

Més enllà de la matemàtica pura, aquests estudis podrien utilitzar-se un dia en criptografia. També tenen una relació amb models físics avançats de l’Univers.

EL DIA DE PI

DIUMENGE, 13 DE MARÇ DEL 2016

Demà se celebra a tot el món la festa del número Pi. 3/14/’16, en la notació americana, són les primeres xifres d’aquest concepte emblemàtic (amb aproximació inclosa) que el president Obama ha pres com a excusa per rendir homenatge a les matemàtiques. Obrim foc amb alguns dels millors matemàtics joves espanyols.

MICHELE CATANZARO

Quan li van preguntar a l’aventurer Edmund Hillary per què havia escalat l’Everest, va contestar: «Perquè és allà». Aquesta mateixa atracció irresistible anima Alberto Enciso a fer matemàtiques. «La gent es pensa que són una manera de complicar-se la vida. Per a mi, són un vehicle per entendre de manera senzilla les coses. Una població que comprengués més les matemàtiques seria més difícil d’enganyar», explica aquest investigador de 35 anys de l’Institut de Ciències Matemàtiques (ICMAT) de Madrid, que el 2014 va resoldre un enigma matemàtic centenari. «Quan arribes a demostrar un teorema, això és cert per sempre: has demostrat una veritat», explica Marta Casanellas, de 40 anys, professora agregada de la Universitat Politècnica de Catalunya (UPC) experta en biomatemàtiques.

Conjectura de John Nash

Enciso i Casanellas formen part d’una nova generació de matemàtics espanyols que destaquen per la seva excel·lència. «La disciplina ha arribat a alts nivells els últims 10 o 20 anys», afirma María Pe Pereira, investigadora de l’ICMAT que als seus 35 anys porta resolta una conjectura de John Nash, el matemàtic d’Una ment meravellosa.Més Periódico ha parlat amb ells amb ocasió de l’anomenat Dia Pi per esbrinar com són els matemàtics del segle XXI i què motiva la seva investigació.
«Quan llegeixo una demostració és com si mirés un quadro. Hi veig bellesa, elegància, simplicitat». Així explica el plaer dels números Isabel Fernández, 36 anys, que el 2010 va ser la primera dona espanyola convidada a parlar al congrés mundial de matemàtiques. «És un treball molt creatiu: estàs entenent noves realitats i has de triar el camí per endinsar-te en aquest univers», insisteix Pe Pereira.
Però no tot és abstracció. Santiago Badía per exemple, es dedica a les matemàtiques aplicades. Aquest investigador de la Institució Catalana de Recerca i Estudis Avançats (ICREA) a la UPC, de 37 anys, ja ha aconseguit dues subvencions del prestigiós European Research Council pel seu treball en supercomputació. «M’agrada veure l’impacte del que faig», explica. «Molta gent desconeix la utilitat de les matemàtiques: avui dia, els matemàtics no estan només en l’ensenyament: en trobes en bancs, consultores, enginyeries...», afegeix Casanellas.
Per a tots ells, la passió per aquesta disciplina va néixer a escola, gràcies a algun bon professor o a la participació en les olimpíades de matemàtiques. Neguen que la seva vocació vagi aparellada amb la soledat i cert friquisme. «Hi ha moments en què estàs sol i altres en què comparteixes. És molt bonic treballar amb altres, descobrir plegats», apunta Pe Pereira, que adora els esports, ballar i sortir, com qualsevol jove de la seva edat.

Gairebé tots tenen fills, entre 1 i 4 anys. La conciliació segueix sent un repte, fins i tot en aquesta disciplina que registra més presència femenina que no pas a física i enginyeria. L’edat de tenir fills acostuma a coincidir amb el postdoctorat, una plaça a temps determinat. «Quan presentes els teus últims articles [per aconseguir plaça] potser acabes de tenir dos fills», apunta Casanellas, que és presidenta de la comissió de dones i matemàtiques de la Reial Societat Espanyola de Matemàtiques. «De vegades et conviden a un congrés i no hi pots anar, perquè estàs embarassada o tens lactància. És frustrant, però és important no rendir-se», apunta. A Casanellas la preocupa que la crisi ha reduït el percentatge de noies a les facultats. Fernández s’ha posat mans a l’obra amb quatre investigadores més de la Universitat de Sevilla: divendres, van estrenar una obra per a estudiants en la qual cadascuna actua com una científica històrica (ella és Hypatia) i després conversa amb el públic.
A tots els preocupen les retallades a la ciència. «Nosaltres som barats: el que necessitem són persones», afirma Fernández. «S’han tallat les beques: ens estem quedant amb una població d’investigadors envellida», assegura Casanellas. «El finançament a Espanya és desastrós, ridícul», apunta Badia. «Tinc amics molt competents que treballen a fora, tot i que va ser aquí on es va invertir en la seva educació», conclou Enciso.

PROBLEMES DE NOMBRES ENTERS

PROBLEMA 1

La temperatura de Moscou el dia 5 de gener ha estat de -15 graus, i la de Budapest de -7 graus. Un turista ha viatjat de Moscou a Budapest: ha notat una pujada o una baixada de la temperatura? De quan?

PROBLEMA 2

En les darreres hores la temperatura a la Pica d’Estats ha pujat 3 graus cada hora. La temperatura a les 12 del migdia és de 15 graus.

a)        Quants graus menys hi feia fa 7 hores?

b)        Quina temperature hi feia?

PROBLEMA 3

Un cargol és al fons d’un pou de 10 metres de fondària. Vol sortir del pou i durant el dia ascendeix 3 metres, però durant la nit descendeix 2 metres.

Quants diez trigarà a arribar al brocal del pou?

PROBLEMA 4

Tres persones arriben a un hotel i paguen 18 € per una habitació per a tots tres. Més tard la directora s’adona que els ha cobrat de més i diu al noi dels encàrrecs que els torni 3 €. Durant el camí el noi decideix concedir-se una propina i es queda 1,20 € i torna 1,80 € als clients. Així, cada client ha pagat només 5,20 € per habitació i el noi dels encàrrecs s’ha quedat 1,20 €. Això suma un total de 16,2 € + 1,20 € = 17,4 €. Què ha passat amb els 60 cèntims que falten?

PROBLEMA 5

Es col partir un tronc amb una serra en cinc trossos iguals. Per a cada tall es triguen 2 minuts. Quants minuts hi hem d’invertir?

PROBLEMA 6

Dos fumadors consumeixen 3 paquets diaris de tabac. Quants fumadors de les mateixes característiques seran necessaris per consumir 90 paquets en 30 dies?

PROBLEMA 7

En un compte corrent tinc 61,5 €, pago una factura de 22,4 € i una altra de 32,54 €. Faig un ingrés de 42,07 €, faig un taló de 38,91 € i pago el lloguer del pis de 75,42 €. Quin saldo em queda? 

OPERACIONS AMB NOMBRES ENTERS

A continuació es proposen diverses activitats d’operacions amb nombres enters:

ACTIVITAT 1

Torna a escriure les següents expressions sense paréntesis i calcula’n el resultat:

(+3) - (+5) – (-6) + (-4) + (+10)=

(+8) – (+2) + (-3) – (-9) + (-11)=

(-3) – (7) + (-6) + (-9) – (-1)=

4 – (-3-6)=

6 + (4-8)=

12 – (5+3)=

8 – (-9+1)=

4 + (-3) – (6+4)=

4 + (-2) + 4 – (6)=

-     6 – (-5+8) – (-3)=

5    – (-3+2) -5 =

6 + 3 – (-5)=

ACTIVITAT 2

Realitza les següents multiplicacions i divisions amb nombres enters:

3 · (-5) =

-6 · 8 =

-4 · (-2) =

-15 · 6 =

8 · 13 =

7 · (-3) =

3 · (-3) · (-6) =

-3 · (-5) · (-1) · 5 =

2 · 1 · 4 · (-4) · 3 · (-2) =

6 · (4-8) =

(-5) · (2+7) =

(-7) · (-10) =

(-10) · (-100) · 1000 · (-10000) · (-100000) =

3 + (-5) · (4-3) =

15 : 3 · 2 + 4 =

(-6) : (-2) + 5 =

5 (3-1) : 2 + 6 =

ACTIVITAT 3

Indica el signe del resultat sense fer les operacions:

(+3) · (-3) · (-3) =

(-3) · (+3) · (+3) · (+3) =

(-3) · (-3) · (+3) =

(-3) · (+3) · (+3) · (-3) =

ACTIVITAT 4

Completa la taula següent:

a	b	c	a-b	(a+b) · c	a : (b-c)	a + b - c
-5	2	3
1	-4	-2
-3	-2	-1
5	10	-10
-1	5	6