CONJUNT DE NOMBRES

En aquest tema anem a donar una petita introducció a les nocions de conjunts de nombres més significatives, essent la més important, el conjunt dels nombres reals, que es denota per R. En tota aquesta unitat anem a suposar que el conjunt universal és R. A més, el conjunt dels nombres reals amb les seves propietats es diu sistema dels nombres reals.

Nombres reals R

Una de les propietats més importants dels nombres reals és poder-los representar per punts d'una línia recta. Es tria un punt anomenat origen, per representar el 0, i un altre punt, per comú a la dreta, per representar l'1.

Resulta així de manera natural una correspondència entre els punts de la recta i els nombres reals, és a dir, que cada punt de la recta representa un únic nombre real. Anomenem a aquesta recta la recta real. A la següent imatge es pot veure un exemple de recta real:

Nombres enters Z

 

Els enters són els nombres reals …,−3,−2,−1,0,1,2,3,…

Es denoten pel símbol Z

 i es poden escriure com Z={…,−2,−1,0,1,2,…}

Una propietat important dels nombres enters és que són tancats respecte a les operacions d'addició, multiplicació i sostracció, és a dir, la suma, la resta i la multiplicació de dos nombres enters fa un altre nombre enter. Noteu que el quocient de dos enters, per exemple 3 i 7, no necessàriament és un enter. Així, l'operació divisió no és tancada respecte als nombres enters.

Nombres racionals Q

 

Els nombres racionals són els reals que poden ser expressats com a raó de dos enters. Es denota el conjunt dels nombres racionals per Q, així que

Q={pq | p,q∈Z}

Observeu que tot enter és un nombre racional, ja que, per exemple, 5=51; per tant, Z és un subconjunt de Q.

Els nombres racionals són tancats no només respecte de les operacions d'addició, multiplicació i sostracció, sinó també de la divisió (excepte pel 0).

Nombres naturals N

 

Els nombres naturals són els enters positius. Es denota el conjunt dels nombres naturals per N; així que N={1,2,3,…}

Noteu les relacions següents entre els anteriors sistemes de nombres:

N⊂Z⊂Q⊂R

Els nombres naturals són tancats respecte a l'addició i la multiplicació només. La diferència i el quocient de dos nombres naturals no és necessàriament un nombre natural.

Els nombres primers són els naturals p, exclòs l'1, que només són divisibles per 1 i pel mateix nombre p. Heus aquí els primers Nombres primers: 2,3,5,7,11,13,17,19,…

Nombres irracionals I

Els nombres irracionals són els reals que no són racionals, és a dir, els nombres reals que no poden ser expressats pel quocient de dos nombres enters. Observeu que el conjunt de nombres irracionals és el complementari del conjunt de nombres racionals. Així, doncs, tenim que

R=Q∪I

Algun exemple de nombres irracionals poden ser 2√,π,5√3,etc.

Decimals i nombres reals

Tot nombre real es pot representar com un "decimal amb infinites xifres". La representació decimal d'un nombre racional pq es troba "dividint el numerador p pel denominador q". Si la divisió aquesta s'acaba, com en:

3/8=0.375=0.375000…

Si la divisió p per q no acaba, se sap llavors que hi ha un tram de xifres que es repeteix contínuament, per exemple:

2/11=0.181818…

Ara bé, el que caracteritza als nombres reals respecte als decimals, és que precisament en els nombres decimals es repeteix contínuament un tram de xifres, els nombres irracionals corresponen als decimals amb infinites xifres no periòdiques.